Laplace演算子の極座標表示
この投稿ではLaplace演算子の極座標表示を導出する。
目次
一般の座標変換
一般に\((x_1, x_2, \cdots , x_N)\to(q_1, q_2, \cdots , q_N)\)の座標変換を行う場合を考える。
以後\(\partial/\partial x = \partial_x\)という略記を用いる。
任意の関数\(F(q)\)に対して、
\begin{align} \partial_{x_i} F(q) &= \frac{\partial}{\partial x_i} F(q_1(x_1, x_2, \cdots , x_N), q_2(x_1, x_2, \cdots , x_N), \cdots , q_N(x_1, x_2, \cdots , x_N)) \\ &= \frac{\partial q_1}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial q_1}F(q) + \frac{\partial q_2}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial q_2}F(q) + \cdots + \frac{\partial q_N}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial q_N}F(q) \\ &= \sum_{j=1}^N \frac{\partial q_j}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial q_j}F(q) \\ &= \sum_{j=1}^N \partial_{x_i}q_j\partial_{q_j}F(q) \\ \end{align}
となるので、\(\partial_{x_i} = \sum_{j=1}^N \partial_{x_i}q_j\partial_{q_j}\)が成り立つ。(連鎖律)
これを用いて座標系\(x\)のLaplace演算子を\(q\)の偏微分で表すと、
\begin{align} \Delta_x &= \sum_{i=1}^N \partial_{x_i}^2 \\ &= \sum_{i=1}^N \partial_{x_i} \sum_{j=1}^N \partial_{x_i}q_j\partial_{q_j} \\ &= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left( \partial_{x_i}^2q_j\partial_{q_j} + \partial_{x_i}q_j\partial_{x_i}\partial_{q_j} \right) \\ &= \sum_{j=1}^N \Delta_x q_j \partial_{q_j} + \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \partial_{x_i}q_j \left(\sum_{k=1}^N \partial {x_i}q_k\partial_{q_j}\right) \partial_{q_k} \\ &= \sum_{j=1}^N \Delta_x q_j \partial_{q_j} + \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \left(\sum_{i=1}^N \partial_{x_i}q_j\partial {x_i}q_k\right) \partial_{q_j}\partial_{q_k} \\ &= \sum_{j=1}^N \Delta_x q_j \partial_{q_j} + \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \left(\nabla_x q_j \cdot \nabla_x q_k\right) \partial_{q_j}\partial_{q_k} \\ &= \sum_{i=1}^N \Delta_x q_i \partial_{q_i} + \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left(\nabla_x q_i \cdot \nabla_x q_j\right) \partial_{q_i}\partial_{q_j} \\ \end{align}
となる。
したがって、予め各\(i\)に対して\(\Delta_x q_i, \nabla_x q_i\)を計算しておけば、Laplace演算子を座標系\(q\)の偏微分で表すことができる。
特に、\(i\neq j\)のときに\(\nabla_x q_i \cdot \nabla_x q_j=0\)となるような座標変換の場合、
\begin{align} \Delta_x &= \sum_{i=1}^N \Delta_x q_i \partial_{q_i} + \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left(\nabla_x q_i \cdot \nabla_x q_j\right) \partial_{q_i}\partial_{q_j} \\ &= \sum_{i=1}^N \Delta_x q_i \partial_{q_i} + \sum_{i=1}^N \left(\nabla_x q_i \cdot \nabla_x q_i\right) \partial_{q_i}^2 \\ \end{align}
となる。
3次元直交座標から極座標への変換
\(N=3\)で、直交座標\(x,y,z\)から極座標\(r,\theta,\phi\)に座標変換する場合を考える。
\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} x &= r\sin\theta\cos\phi \\ y &= r\sin\theta\sin\phi \\ z &= r\cos\theta \\ \end{array} \right. \end{align}
このとき、
\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} r^2 &= x^2+y^2+z^2 \\ \tan\phi &= \frac{y}{x} \\ \tan\theta &= \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \end{array} \right. \end{align}
という関係が成り立つ。
rの微分
\(r^2=x^2+y^2+z^2\)の両辺を\(x\)で偏微分すると\(2r\partial_xr=2x\)となる(\(y,z\)についても同様)ので、
\begin{align} \partial_x r &= \frac{x}{r} \\ \partial_yr &= \frac{y}{r} \\ \partial_zr &= \frac{z}{r} \\ \end{align}
となる。
もう一度\(x\)で偏微分すると、
\begin{align} \partial_x^2 r &= \partial_x\frac{x}{r} \\ &= \frac{1}{r} - \frac{x\partial_xr}{r^2} \\ &= \frac{1}{r} - \frac{x^2}{r^3} \\ &= \frac{r^2-x^2}{r^3} \\ \end{align}
となる。これは\(y,z\)についても同様なので、
\begin{align} \Delta r &= \partial_x^2 r + \partial_y^2 r + \partial_z^2 r \\ &= \frac{r^2-x^2}{r^3} + \frac{r^2-y^2}{r^3} + \frac{r^2-z^2}{r^3} \\ &= \frac{3r^2-x^2-y^2-z^2}{r^3} \\ &= \frac{3r^2-r^2}{r^3} \\ &= \frac{2}{r} \\ \end{align}
となる。
θの微分
まず準備として、\(s:=\sqrt{x^2+y^2}=r\sin\theta\)としてその微分を導出しておく。
\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_x s &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{s} \\ \partial_y s &= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{y}{s} \\ \partial_z s &= 0 \\ \end{array} \right. \end{align}
\(\tan\theta = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} = \frac{s}{z}\)なので、左辺を\(x\)で微分すると、
\begin{align} \partial_x \tan\theta &= (1+(\tan\theta)^2)\partial_x\theta \\ &= \left(1+\frac{s^2}{z^2}\right)\partial_x\theta \\ &= \frac{z^2+x^2+y^2}{z^2}\partial_x\theta \\ &= \frac{r^2}{z^2}\partial_x\theta \\ \end{align}
となる。これは\(y,z\)についても同様。
右辺の微分は、
\begin{align} \partial_x \frac{s}{z} &= \frac{1}{z}\partial_xs \\ &= \frac{x}{zs} \\ \end{align}
これは\(y\)についても同様。
\(z\)の場合は、
\begin{align} \partial_z \frac{s}{z} &= -\frac{s}{z^2} \\ \end{align}
となる。
これらをまとめると、
\begin{align} \partial_x \theta &= \frac{z^2}{r^2}\partial_x\frac{s}{z} = \frac{xz}{r^2s} \\ \partial_y \theta &= \frac{z^2}{r^2}\partial_y\frac{s}{z} = \frac{yz}{r^2s} \\ \partial_z \theta &= \frac{z^2}{r^2}\partial_z\frac{s}{z} = -\frac{s}{r^2} \\ \end{align}
となる。
また2階微分は、
\begin{align} \partial_x^2 \theta &= \partial_x\frac{xz}{r^2s} \\ &= \frac{z}{r^2s} - \frac{2xz\partial_xr}{r^3s} - \frac{xz\partial_xs}{r^2s^2} \\ &= \frac{z}{r^2s} - \frac{2x^2z}{r^4s} - \frac{x^2z}{r^2s^3} \\ &= \frac{z}{r^4s^3}\left( r^2s^2-2x^2s^2-x^2r^2 \right) \\ &= \frac{z}{r^4s^3}\left( r^2y^2-2x^2s^2 \right) \\ \end{align}
となり、これは\(y\)も同様。
\(z\)については、
\begin{align} \partial_z^2 \theta &= -\partial_z\frac{s}{r^2} \\ &= \frac{2s\partial_zr}{r^3} \\ &= \frac{2sz}{r^4} \\ \end{align}
となる。
したがって、
\begin{align} \Delta \theta &= \partial_x^2\theta + \partial_y^2\theta + \partial_z^2\theta \\ &= \frac{z}{r^4s^3}\left( r^2y^2-2x^2s^2 \right) + \frac{z}{r^4s^3}\left( r^2x^2-2y^2s^2 \right) + \frac{2sz}{r^4} \\ &= \frac{z}{r^4s^3}\left( r^2y^2-2x^2s^2 + r^2x^2-2y^2s^2 + 2s^4 \right) \\ &= \frac{z}{r^4s^3}\left( r^2s^2-2s^4 + 2s^4 \right) \\ &= \frac{z}{r^4s^3}r^2s^2 \\ &= \frac{z}{r^2s} \\ \end{align}
となる。
φの微分
\(\tan\phi = \frac{y}{x}\)なので、左辺を\(x\)で微分すると\(\theta\)のときと同様に、
\begin{align} \partial_x \tan\phi &= (1+(\tan\phi)^2)\partial_x\phi \\ &= \left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)\partial_x\phi \\ &= \frac{s^2}{x^2}\partial_x\phi \\ \end{align}
となる。これは\(y,z\)についても同様。
右辺の微分は、
\begin{align} \partial_x \frac{y}{x} &= -\frac{y}{x^2} \\ \partial_y \frac{y}{x} &= \frac{1}{x} \\ \partial_z \frac{y}{x} &= 0 \\ \end{align}
よって、
\begin{align} \partial_x \phi &= -\frac{y}{s^2} \\ \partial_y \phi &= \frac{x}{s^2} \\ \partial_z \phi &= 0 \\ \end{align}
となる。
また2階微分は、
\begin{align} \Delta \phi &= \partial_x^2\phi + \partial_y^2\phi + \partial_z^2\phi \\ &= -\partial_x \frac{y}{s^2} + \partial_y \frac{x}{s^2} + \partial_z 0 \\ &= \frac{2xy}{s^4} - \frac{2xy}{s^4} \\ &= 0 \end{align}
となる。
勾配の内積
これまでの結果から、
\begin{align} \nabla r &= \frac{1}{r}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ \nabla \theta &= \frac{1}{r^2s}\begin{pmatrix} xz \\ yz \\ -s^2 \end{pmatrix} \\ \nabla \phi &= \frac{1}{s^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}
となるが、
\begin{align} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} xz \\ yz \\ -s^2 \end{pmatrix} &= x^2z + y^2z - s^2z \\ &= s^2z-s^2z \\ &= 0 \end{align}
\begin{align} \begin{pmatrix} xz \\ yz \\ -s^2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} &= -xyz + xyz \\ &= 0 \end{align}
\begin{align} \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= -xy + xy \\ &= 0 \end{align}
なので、異なる勾配同士の内積は全て0になる。
同じ勾配同士の内積は次のようになる。
\begin{align} \nabla r\cdot\nabla r &= \frac{1}{r^2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{r^2}(x^2+y^2+z^2) \\ &= \frac{1}{r^2}r^2 \\ &= 1 \end{align}
\begin{align} \nabla \theta\cdot\nabla \theta &= \frac{1}{r^4s^2}\begin{pmatrix} xz \\ yz \\ -s^2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} xz \\ yz \\ -s^2 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{r^4s^2}(x^2z^2 + y^2z^2 + s^4) \\ &= \frac{1}{r^4s^2}(s^2z^2 + s^4) \\ &= \frac{1}{r^4}(z^2 + s^2) \\ &= \frac{1}{r^2} \\ \end{align}
\begin{align} \nabla \phi\cdot\nabla \phi &= \frac{1}{s^4}\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{s^4}(y^2+x^2) \\ &= \frac{1}{s^2} \\ \end{align}
Laplace演算子の極座標表示
これまでの結果を用いることで、Laplace演算子を極座標で表すことができる。
\begin{align} \Delta &= \sum_{q\in\{r,\theta,\phi\}} \Delta q \partial_q + \sum_{q_1\in\{r,\theta,\phi\}} \sum_{q_2\in\{r,\theta,\phi\}} \left(\nabla q_1 \cdot \nabla q_2\right) \partial_{q_1}\partial_{q_2} \\ &= \Delta r \partial_r + \Delta \theta \partial_\theta + \Delta \phi \partial_\phi + \left(\nabla r \cdot \nabla r\right) \partial_r^2 + \left(\nabla \theta \cdot \nabla \theta\right) \partial_\theta^2 + \left(\nabla \phi \cdot \nabla \phi\right) \partial_\phi^2 \\ &= \frac{2}{r} \partial_r + \frac{z}{r^2s} \partial_\theta + 0 \partial_\phi + \partial_r^2 + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 + \frac{1}{s^2} \partial_\phi^2 \\ &= \frac{2}{r} \partial_r + \frac{r\cos\theta}{r^3\sin\theta} \partial_\theta + \partial_r^2 + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 + \frac{1}{r^2(\sin\theta)^2} \partial_\phi^2 \\ &= \frac{1}{r^2} \left( (2r\partial_r + r^2\partial_r^2) + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\partial_\theta + \partial_\theta^2+ \frac{1}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2 \right) \\ &= \frac{1}{r^2} \left( \partial_r(r^2\partial_r) + \frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2 \right) \\ \end{align}
\((x,y,z)=(r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta)\)とするとき、
\begin{align} \Delta = \frac{1}{r^2} \left( \partial_r(r^2\partial_r) + \frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2 \right) \\ \end{align}