球面調和関数

2025/10/13 21:53 投稿

この投稿では3次元Laplace方程式

\begin{align} 0 = \Delta\psi(x,y,z) \end{align}

について考え、球面調和関数を導出する。

球面調和関数は量子力学において水素原子の波動関数を求める際に現れる他、電磁気学や流体力学でも扱われることがあるらしい。また、(Fourier級数展開のように)球面調和関数が球面上の任意の関数を近似できるという性質に着目して、3Dグラフィックの分野では見る方向に依存した色の変化を表現するために利用されている。

目次

• Laplace方程式の変数分離解
  • Laplace方程式
  • 変数分離法
  • Rの解
  • Φの解
  • Θの解
• 球面調和関数
  • 正規直交性
  • 完全性
  • 球面調和関数の直交座標表示
  • まとめ
• 参考

Laplace方程式の変数分離解

Laplace方程式

次のように定義される偏微分方程式をLaplace方程式といい、その解は調和関数(harmonic function)と呼ばれる。

\begin{align} 0 &= \Delta\psi(x,y,z) \\ &= \partial_x^2\psi(x,y,z) + \partial_y^2\psi(x,y,z) + \partial_z^2\psi(x,y,z) \end{align}

ここではその特殊解を探していく。

変数分離法

Laplace方程式はLaplace演算子の極座標表示により

\begin{align} 0 &= \Delta\psi(x,y,z) \\ &= \frac{1}{r^2} \left( \partial_r(r^2\partial_r) + \frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2 \right)\psi(x,y,z) \end{align}

と表すことができ、両辺に\(r^2\)を掛けると

\begin{align} 0 &= \left( \partial_r(r^2\partial_r) + \frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2 \right)\psi(x,y,z) \end{align}

となる。

ここで\(\psi\)に次のような仮定を課す。

\begin{align} \psi(x,y,z) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \end{align}

このようにして微分方程式の特殊解を求める方法を変数分離法という。

これを方程式に代入すると、

\begin{align} 0 &= \left( \partial_r(r^2\partial_r) + \frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2 \right)\left(R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\right) \\ &= \Theta(\theta)\Phi(\phi)\partial_r(r^2\partial_rR(r)) + R(r)\left(\Phi(\phi)\frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \frac{\Theta(\theta)}{(\sin\theta)^2}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \right) \\ &= R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \left(\frac{1}{R(r)}\partial_r(r^2\partial_rR(r)) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\left(\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \right) \right) \\ \end{align}

両辺を\(R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\)で割ると、

\begin{align} 0 &= \frac{1}{R(r)}\partial_r(r^2\partial_rR(r)) + \frac{1}{(\sin\theta)^2}\left(\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \right) \\ \end{align}

つまり、

\begin{align} \frac{1}{R(r)}\partial_r(r^2\partial_rR(r)) &= -\frac{1}{(\sin\theta)^2}\left(\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \right) \\ \end{align}

となる。
変数\(r\)に関して見ると右辺は定数、変数\(\theta,\phi\)に関して見ると左辺もまた定数なので、\(r,\theta,\phi\)のいずれにも依存しない定数\(\lambda\)を用いて、

\begin{align} \lambda &= \frac{1}{R(r)}\partial_r(r^2\partial_rR(r)) \\ \lambda &= -\frac{1}{(\sin\theta)^2}\left(\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \right) \end{align}

という関係が成り立つと言える。

また、2つ目の式からは更に、

\begin{align} \frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \lambda(\sin\theta)^2 &= -\frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \end{align}

という関係を導くことができ、この式もまた左辺は\(\phi\)に対して定数、右辺は\(\theta\)に対して定数なので、共通の定数\(\nu\)を用いて

\begin{align} \nu &= \frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \lambda(\sin\theta)^2 \\ \nu &= -\frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \end{align}

という関係が成り立つことがわかる。

Rの解

\(R(r)\)の解を求める。

\begin{align} \lambda &= \frac{1}{R(r)}\partial_r(r^2\partial_rR(r)) \end{align}

より、

\begin{align} \lambda R(r) = \partial_r(r^2\partial_rR(r)) \end{align}

となるが、これは2階斉次常微分方程式なので、2つの特殊解を見つけるだけで一般解を線形結合で表現することができる。

\(R(r) = r^l\)としてみると、

\begin{align} \lambda R(r) &= \partial_r(r^2\partial_rR(r)) \\ &= \partial_r(r^2\partial_rr^l) \\ &= \partial_r(lr^{l+1}) \\ &= l(l+1)r^l \\ &= l(l+1)R(r) \end{align}

となるので、\(\lambda = l(l+1)\)ならば\(R(r)=r^l\)は特殊解になる。
\(\lambda > -\frac{1}{4}\)のとき、そのような\(l\)は

\begin{align} l = -\frac{1\pm\sqrt{2\lambda+1}}{2} \end{align}

と表すことができ、片方を\(l\)とするともう片方は\(-l-1\)である。
\(\lambda > -\frac{1}{4}\)のとき、\(R(r)=r^l\)と\(R(r)=r^{-1-l}\)は線形独立した2つの特殊解となり、一般解は

\begin{align} R(r) = ar^l + br^{-1-l} \end{align}

と表すことができる。

Φの解

\(\Phi(\phi)\)の解を求める。

\begin{align} \nu &= -\frac{1}{\Phi(\phi)}\partial_\phi^2\Phi(\phi) \end{align}

より、

\begin{align} \partial_\phi^2\Phi(\phi) = -\nu\Phi(\phi) \end{align}

となる。

ここで、\(m:=\sqrt{|\nu|}\)と置く。

\(\nu < 0 \)のとき、\(e^{m\phi}, e^{-m\phi}\)が線形独立な特殊解となる。
しかし、\(\Phi(\phi)\)はそもそも周期性を持つという制約があるので、これらの解は適さない。

\(\nu > 0 \)のとき、\(\sin(m\phi), \cos(m\phi)\)が線形独立な特殊解となる。(複素数値なら\(e^{im\phi}, e^{-im\phi}\)としても良い)
このときもまた周期が\(2\pi\)という制約を満たさなければならないので、\(m\)は整数でなければならない。

一般解は

\begin{align} \Phi(\phi) = a\sin(m\phi) + b\cos(m\phi) \end{align}

と表すことができる。

Θの解

\(\Theta(\theta)\)の解を求める。

\begin{align} \nu &= \frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + \lambda(\sin\theta)^2 \\ \end{align}

より、

\begin{align} m^2\Theta(\theta) &= \sin\theta\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + l(l+1)(\sin\theta)^2\Theta(\theta) \\ \end{align}

となる。

ここで、\(w=\cos\theta=\frac{z}{r}\in[-1,1]\)とすると、

\begin{align} \sin\theta\partial_\theta &= \sin\theta\frac{dw}{d\theta}\frac{d}{dw} \\ &= -(\sin\theta)^2\frac{d}{dw} \\ &= -(1-w^2)\frac{d}{dw} \\ \end{align}

となるので、

\begin{align} m^2\Theta(\theta) &= \sin\theta\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Theta(\theta)) + l(l+1)(\sin\theta)^2\Theta(\theta) \\ &= (1-w^2)\frac{d}{dw}\left((1-w^2)\frac{d}{dw}\Theta(\theta)\right) + l(l+1)(1-w^2)\Theta(\theta) \\ \end{align}

となって、Legendreの陪方程式(Associated Legendre Equation, General Legendre Equation)と呼ばれる次の方程式が得られる。

\begin{align} 0 &= \frac{d}{dw}\left((1-w^2)\frac{d}{dw}\Theta(\theta)\right) + \left( l(l+1) - \frac{m^2}{(1-w^2)} \right)\Theta(\theta) \\ \end{align}

Legendreの陪方程式の(非特異な)解は、Legendre陪多項式となる。

\begin{align} \Theta(\theta(w)) \propto P_l^m(w) &= (1-w^2)^{m/2}\left(\frac{d}{dw}\right)^mP_l(w) \\ &= (1-w^2)^{m/2}\left(\frac{d}{dw}\right)^{l+m}(w^2-1)^l \end{align}

球面調和関数

これまでの結果をまとめると、Laplace方程式\(0=\Delta \psi(x,y,z)\)の極座標における変数分離解

\begin{align} \psi(x,y,z) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \end{align}

は、

\begin{align} R(r) &= c_1r^l + c_2r^{-1-l} \\ \Theta(\theta) &= c_3P_l^m(\cos(\theta)) \\ \Phi(\phi) &= c_4\sin(m\phi) + c_5\cos(m\phi) \end{align}

で表されることがわかった。(\(l,m\)は\(0\leq m\leq l\)を満たす整数)

ここでは調和関数の球面上での性質を調べるため、\(r\)を固定して定数とする。
つまり、球面調和関数\(Y_{l,m}(\theta,\phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)\)に関して調べる。

正規直交性

(実)関数空間\(L^2(\Omega)\)の可算部分集合\(\{e_n\}_{n=0}^\infty\)が正規直交系であるとは、

\begin{align} \langle e_n, e_{n'} \rangle_{L^2(\Omega)} = \delta_{n,n'} \\ \end{align}

つまり、

\begin{align} \int_\Omega e_n(x)e_{n'}(x)dx = \delta_{n,n'} \\ \end{align}

となることである。

\(Y_{l,m}\)が\(L^2(S^2)\)の正規直交系となるように以下のように調整する。(\(S^2\)は単位球面)

Φの正規直交性

\(\Phi(\phi)\)の正規直交系を構成するため、\(m\)を整数全体に拡張して、

\begin{align} \Phi_m(\phi) := \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m\phi) &\qquad (m>0) \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} &\qquad (m=0) \\ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(-m\phi) &\qquad (m<0) \\ \end{cases} \end{align}

とする。
これはFourier級数展開でもよく知られているように、\(L^2([0,2\pi))\)の正規直交基底である。

実際に、

\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m\phi)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m'\phi) d\phi &= \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \cos(m\phi)\cos(m'\phi) d\phi \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(\cos((m+m')\phi) + \cos((m-m')\phi)\right) d\phi \\ \end{align}

であるが、\(m\neq m'\)のときは、

\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m\phi)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m'\phi) d\phi &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(\cos((m+m')\phi) + \cos((m-m')\phi)\right) d\phi \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{m+m'}\sin((m+m')\phi) + \frac{1}{m-m'}\sin((m-m')\phi)\right]_0^{2\pi} \\ &= 0 \\ \end{align}

\(m=m'\)のときは、

\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m\phi)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m'\phi) d\phi &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(\cos((m+m')\phi) + \cos((m-m')\phi)\right) d\phi \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(\cos(2m\phi) + 1\right) d\phi \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{2m}\sin(2m\phi) + \phi \right]_0^{2\pi} \\ &= \frac{1}{2\pi} \left( 0 + 2\pi \right) \\ &= 1 \\ \end{align}

となる。
また、

\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m\phi) d\phi &= \frac{1}{\sqrt{2}\pi}\int_0^{2\pi} \cos(m\phi) d\phi \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}\pi} \left[\frac{1}{m}\cos(m\phi)\right]_0^{2\pi} \\ &= 0 \\ \end{align}

これら3つは\(\sin\)についても同様。

更に、

\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(m\phi)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(m'\phi) d\phi &= \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \sin(m\phi)\cos(m'\phi) d\phi \\ &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \sin(m\phi)\cos(m'\phi) d\phi \\ \end{align}

は積分の中が奇関数なので0。

最後に、

\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} d\phi &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} d\phi \\ &= 1 \\ \end{align}

となるので、確かにこれは正規直交系である。

Θの正規直交性

\(\Theta_{l,m}(\theta)\)も(\(l\)に関して)正規直交基底となるように係数を調整する。
Legendre陪多項式の性質によると、

\begin{align} \int_{-1}^1P_l^m(x)P_{l'}^m(x)dx &= \frac{2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}\delta_{l,l'} \\ \end{align}

なので、

\begin{align} \Theta_{l,m}(\theta) &= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}}P_l^m(\cos(\theta)) \\ \end{align}

とすれば、\(\int_0^\pi\cdot\sin(\theta)d\theta\)によって定義される内積に関して正規直交系になる。

\(\Phi\)で\(m\)を整数全体に拡張したことと合わせるため、\(\Theta_{l,-m}(\theta) = \Theta_{l,m}(\theta)\)とする。

Yの正規直交性

\(Y_{l,m}(\theta,\phi)\)は次のようになる。

\begin{align} Y_{l,m}(\theta,\phi) &= \Theta_{l,m}(\theta)\Phi_m(\phi) = \begin{cases} \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2\pi(l+m)!}}P_l^m(\cos(\theta))\cos(m\phi) &\qquad (m>0) \\ \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos(\theta)) &\qquad (m=0) \\ \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{2\pi(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos(\theta))\sin(|m|\phi) &\qquad (m<0) \\ \end{cases} \end{align}

球面全体の積分に対して、

\begin{align} \int_{S^2} Y_{l,m}(\theta,\phi)Y_{l',m'}(\theta,\phi) d\Omega &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} Y_{l,m}(\theta,\phi)Y_{l',m'}(\theta,\phi) \sin(\theta) d\phi d\theta \\ &= \int_0^\pi \Theta_{l,m}(\theta)\Theta_{l',m'}(\theta) \sin(\theta) d\theta \int_0^{2\pi} \Phi_m(\phi)\Phi_{m'}(\phi) d\phi \\ &= \int_0^\pi \Theta_{l,m}(\theta)\Theta_{l',m'}(\theta) \sin(\theta) d\theta \delta_{m,m'} \\ &= \delta_{l,l'} \delta_{m,m'} \\ \end{align}

が成り立つ。

完全性

(実)関数空間\(L^2(\Omega)\)の可算部分集合\(\{e_n\}_{n=0}^\infty\)が完全系であるとは、\(\{e_n\}_{n=0}^\infty\)が張る空間(=\(\{e_n\}_{n=0}^\infty\)の有限個の線形結合全体の空間)が、\(L^2(\Omega)\)で稠密になっていることを言う。
言い換えれば、任意の\(f\in L^2(\Omega)\)に対して、任意の精度\(\varepsilon>0\)で有限個の線形結合が\(f\)を近似できるということである。

\begin{align} \left\| f - \sum_{n=0}^N c_n e_n \right\|_{L^2(\Omega)} < \varepsilon \end{align}

このとき選ばれる\(\{c_n\}_{n=0}^N\)は\(\varepsilon\)に依存していることに注意。
ここで、L2ノルムは

\begin{align} \left\| f \right\|_{L^2(\Omega)} := \left(\int_\Omega f(x)^2 dx\right)^{1/2} \end{align}

と定義される。

\(\{e_n\}_{n=0}^\infty\)が更に正規直交系でもあるならば、\(e_R := f - \sum_{n=0}^N\left\langle f,e_n \right\rangle e_n\)と置くと、

\begin{align} \left\langle e_R, e_n \right\rangle &= \left\langle f - \sum_{n'=0}^N\left\langle f,e_{n'} \right\rangle e_n', e_n \right\rangle \\ &= \left\langle f, e_n \right\rangle - \left\langle \sum_{n'=0}^N \left\langle f,e_{n'} \right\rangle e_{n'}, e_n \right\rangle \\ &= \left\langle f, e_n \right\rangle - \sum_{n'=0}^N \left\langle f,e_{n'} \right\rangle \left\langle e_{n'}, e_n \right\rangle \\ &= \left\langle f, e_n \right\rangle - \sum_{n'=0}^N \left\langle f,e_{n'} \right\rangle \delta_{n,n'} \\ &= \left\langle f, e_n \right\rangle - \left\langle f,e_n \right\rangle \\ &= 0 \\ \end{align}

となり、任意の\(e_n\)と\(e_R\)は直交している。また、\(\{e_n\}_{n=0}^N\)同士も当然直交しているので、\(\{e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{N-1},e_N,e_R\}\)は直交系である。
したがって、任意の\(\{a_n\}_{n=0}^N\cup\{a_R\}\subset \mathbb{R}\)に対して、

\begin{align} \left\| a_Re_R + \sum_{n=0}^Na_ne_n \right\|^2 &= \left\langle a_Re_R + \sum_{n=0}^Na_ne_n, a_Re_R + \sum_{n=0}^Na_ne_n \right\rangle \\ &= a_R^2\|e_R\|^2 + \sum_{n=0}^N a_n^2\|e_n\|^2 \\ &= a_R^2\|e_R\|^2 + \sum_{n=0}^N a_n^2 \\ \end{align}

が成り立つ。(三平方の定理)
このことを利用すると、

\begin{align} \varepsilon^2 &> \left\| f - \sum_{n=0}^Nc_ne_n \right\|^2 \\ &= \left\| f - \sum_{n=0}^N\left\langle f,e_n \right\rangle e_n + \sum_{n=0}^N\left\langle f,e_n \right\rangle e_n - \sum_{n=0}^Nc_ne_n \right\|^2 \\ &= \left\| e_R + \sum_{n=0}^N\left(\left\langle f,e_n \right\rangle - c_n\right)e_n \right\|^2 \\ &= \left\|e_R\right\|^2 + \sum_{n=0}^N\left(\left\langle f,e_n \right\rangle - c_n\right)^2 \\ &\geq \left\|e_R\right\|^2 \\ &= \left\| f - \sum_{n=0}^N\left\langle f,e_n \right\rangle e_n \right\|^2 \end{align}

となって、\(c_n\)の具体例として\(c_n=\left\langle f,e_n\right\rangle\)が完全性の式を満たすことがわかる。
したがって、完全性の関係は次のように表すこともできる。

\begin{align} f = \sum_{n=0}^\infty \left\langle f, e_n \right\rangle e_n \end{align}

なお、完全系が特に線形独立であるとき、その完全系を基底と呼ぶ。
完全正規直交系は線形独立なので、正規直交基底と呼ぶこともできる。

Parsevalの等式

\(\{e_n\}_{n=0}^\infty\)が完全正規直交系であるとき、

\begin{align} \left| \|f\|^2 - \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle^2 \right| &= \left| \|f\|^2 - \left\| \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle e_n\right\|^2 \right| \\ &= \left\|f - \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle e_n\right\|^2 \\ &< \varepsilon^2 \end{align}

なので、次の等式が成り立つ。この等式をParsevalの等式と言う。

\begin{align} \|f\|^2 = \sum_{n=0}^\infty \left\langle f,e_n \right\rangle^2 \end{align}

逆に正規直交系でParsevalの等式が成り立つとき、

\begin{align} \left\| f - \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle e_n \right\|^2 &= \left\|f\right\|^2 - 2\left\langle f, \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle e_n \right\rangle + \left\langle \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle e_n, \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle e_n \right\rangle \\ &= \left\|f\right\|^2 - 2\sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle \left\langle f, e_n \right\rangle + \sum_{n=0}^N \sum_{n'=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle \left\langle f,e_{n'} \right\rangle \left\langle e_n, e_{n'} \right\rangle \\ &= \left\|f\right\|^2 - 2\sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle^2 + \sum_{n=0}^N \sum_{n'=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle \left\langle f,e_{n'} \right\rangle \delta_{n,n'} \\ &= \left\|f\right\|^2 - 2\sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle^2 + \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle^2 \\ &= \left\|f\right\|^2 - \sum_{n=0}^N \left\langle f,e_n \right\rangle^2 \\ &\to 0 \end{align}

となって完全性が成り立つ。

Diracのデルタ関数

完全正規直交系において、

\begin{align} f(x) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left\langle f, e_n \right\rangle e_n(x) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \int_\Omega f(y)e_n(y)dy e_n(x) \\ &= \lim_{N\to\infty} \int_\Omega f(y) \left(\sum_{n=0}^N e_n(y)e_n(x)\right) dy \\ \end{align}

という式が成り立つ。
本来\(\sum_{n=0}^\infty e_n(y)e_n(x)\)は\(L^2(\Omega)\)で収束しないが、これを形式的に\(\delta(y,x)\)と表すと、

\begin{align} f(x) &= \int_\Omega f(y) \delta(x,y) dy \\ \end{align}

となる。このような\(\delta(y,x)\)はDiracのデルタ関数と呼ばれる。

逆に\(\sum_{n=0}^\infty e_n(y)e_n(x) = \delta(y,x)\)になるなら

\begin{align} \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left\langle f, e_n \right\rangle e_n(x) &= \lim_{N\to\infty} \int_\Omega f(y) \left(\sum_{n=0}^N e_n(y)e_n(x)\right) dy \\ &= \int_\Omega f(y) \delta(y,x) dy \\ &= f(x) \end{align}

となり、完全性が成立すると言える。

のデルタ関数の性質としてまず、\(f\)が定数関数\(f(x)=1\)であるとき、

\begin{align} 1 &= \int_\Omega 1 \cdot \delta(y,x) dy \\ &= \int_\Omega \delta(y,x) dy \\ \end{align}

となって、デルタ関数自体の積分は1になる。

また、\(f\)が\(a\)の近傍\(U_a\)の指示関数

\begin{align} f(y)=\chi_{U_a}(y) &= \begin{cases} 1 & \quad (y\in U_a) \\ 0 & \quad (y\notin U_a) \\ \end{cases} \end{align}

である場合を考えると、\(a\neq x\)かつ近傍の大きさが十分小さいとき、つまり\(x\notin U_a\)のとき、

\begin{align} 0 &= \chi_{U_a}(x) \\ &= \int_\Omega \chi_{U_a}(y)\delta(y,x) dy \\ &= \int_{U_a} 1\cdot\delta(y,x) dy \\ &= \int_{U_a} \delta(y,x) dy \\ \end{align}

がどんなに小さい\(U_a\)に対しても成り立つ。これは\(x\notin U_a\)のとき\(\delta(a,x)=0\)であることを意味する。

Fourier基底\(\{\Phi_m(\phi)\}_m\)やLegendre陪多項式\(\{\Theta_{l,m}(\theta)\}_l\)は完全になることが知られている。ここではその証明は省略するが、それぞれ\(\sum_{n=0}^N e_n(y)e_n(x)\)のグラフを見てデルタ関数に近付きそうだということを雰囲気だけ確認しておく。

Φの完全性

\(\{\Phi_m(\phi)\}_m\)に関しては、

\begin{align} &\sum_{m=-M}^M \Phi_m(y)\Phi_m(x) \\ =& \Phi_0(y)\Phi_0(x) + \sum_{m=1}^M \left( \Phi_m(y)\Phi_m(x) + \Phi_{-m}(y)\Phi_{-m}(x) \right) \\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{m=1}^M \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(my)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(mx) + \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(my)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(mx) \right) \\ =& \frac{1}{\pi}\left( \frac{1}{2} + \sum_{m=1}^M \cos(m(y-x)) \right) \\ =& \frac{1}{\pi\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)}\left( \frac{1}{2}\sin\left(\frac{y-x}{2}\right) + \sum_{m=1}^M \cos(m(y-x))\sin\left(\frac{y-x}{2}\right) \right) \\ =& \frac{1}{\pi\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)}\left( \frac{1}{2}\sin\left(\frac{y-x}{2}\right) + \frac{1}{2}\sum_{m=1}^M \left( \sin\left((2m+1)\frac{y-x}{2}\right) - \sin\left((2m-1)\frac{y-x}{2}\right) \right) \right) \\ =& \frac{1}{\pi\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)}\frac{1}{2} \sin\left((2M+1)\frac{y-x}{2}\right) \\ =& \frac{\sin\left((2M+1)\frac{y-x}{2}\right)}{2\pi\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)} \\ \end{align}

となる。
\(\frac{\sin\left((2M+1)z/2\right)}{\sin\left(z/2\right)}\)の部分はDirichlet核として知られる関数である。

\(M\)を増やしてDirichlet核のグラフを見てみる。

\(\frac{\sin\left((2M+1)z/2\right)}{2\pi\sin\left(z/2\right)}\)のグラフ (\(M=1\))

\(\frac{\sin\left((2M+1)z/2\right)}{2\pi\sin\left(z/2\right)}\)のグラフ (\(M=10\))

\(\frac{\sin\left((2M+1)z/2\right)}{2\pi\sin\left(z/2\right)}\)のグラフ (\(M=100\))

\(\frac{\sin\left((2M+1)z/2\right)}{2\pi\sin\left(z/2\right)}\)のグラフ (\(M=1000000\))

Θの完全性

Legendre陪多項式の場合の核に相当する関数

\begin{align} &\sum_{l=m}^L \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}}P_l^m(y)\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}}P_l^m(x) \\ =& \frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!} \sum_{l=m}^L P_l^m(y)P_l^m(x) \end{align}

のグラフを見てみる。
横軸が\(y\)。青いグラフは\(x=0\)の場合で、赤いグラフは\(x=0.7\)の場合。

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=0, L=5\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=0, L=20\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=0, L=100\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=0, L=1000\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=5, L=5\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=5, L=20\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=5, L=100\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=5, L=1000\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=20, L=20\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=20, L=100\))

Legendre陪多項式による核のグラフ (\(m=20, L=1000\))

Yの完全性

\(\{\Phi_m(\phi)\}_m\)と\(\{\Theta_{l,m}(\theta)\}_l\)の完全性を認めるとして、\(\{Y_{l,m}(\theta,\phi)\}_{l,m}\)に関しても大雑把に言えば

\begin{align} f(\theta,\phi) &= \sum_{m=-\infty}^\infty \left( \int_0^{2\pi} f(\theta,\phi')\Phi_m(\phi)d\phi' \right) \Phi_m(\phi) \\ &= \sum_{m=-\infty}^\infty \left( \int_0^{2\pi} \sum_{l=|m|}^\infty \left( \int_0^\pi f(\theta',\phi')\Theta_{l,m}(\theta')\sin(\theta')d\theta'\right) \Theta_{l,m}(\theta) \Phi_m(\phi')d\phi' \right) \Phi_m(\phi) \\ &= \sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{l=|m|}^\infty \left( \int_0^{2\pi} \int_0^\pi f(\theta',\phi')\Theta_{l,m}(\theta') \Phi_m(\phi')\sin(\theta')d\theta'd\phi' \right) \Theta_{l,m}(\theta) \Phi_m(\phi) \\ &= \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left( \int_{S^2} f(\theta',\phi')Y_{l,m}(\theta',\phi')d\Omega \right) Y_{l,m}(\theta,\phi) \\ \end{align}

という完全性が成り立つ。(厳密には総和と積分の交換や、\(Y_{l,m}(\theta,\cdot)\in L^2([0,2\pi])\)となるかどうかなどの問題がある)
係数は\(Y_{l,m}(\theta,\phi)\Theta_{l,m}(\theta)\Phi_m(\phi)\)の球面全体での積分によって求めることができる。

球面調和関数の直交座標表示

\((x,y,z)\)が球面上にあるとき、

\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} x &= \sin(\theta)\cos(\phi) \\ y &= \sin(\theta)\sin(\phi) \\ z &= \cos(\theta) \\ \end{array} \right. \end{align}

となる。

このとき、

\begin{align} P_l^m(\cos(\theta)) &= (1-\cos(\theta)^2)^{m/2}P_l^{(m)}(\cos(\theta)) \\ &= \sin(\theta)^mP_l^{(m)}(z) \end{align}

と、一部を\(z\)で表すことができる。
ここで、\(P_l^{(m)}\)はLegendre多項式\(P_l\)の\(m\)階導関数。

また、

\begin{align} &\cos(m\phi) + i\sin(m\phi) \\ =& e^{im\phi} \\ =& \left(e^{i\phi}\right)^m \\ =& \left(\cos(\phi)+i\sin(\phi)\right)^m \\ =& \sum_{k=0}^m \binom{m}{k}\cos(\phi)^{m-k}(i\sin(\phi))^k \\ =& \sum_{0\leq 2k\leq m} \binom{m}{2k}\cos(\phi)^{m-2k}(i\sin(\phi))^{2k} + \sum_{1\leq 2k+1\leq m} \binom{m}{2k+1}\cos(\phi)^{m-2k-1}(i\sin(\phi))^{2k+1} \\ =& \sum_{0\leq 2k\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k}\cos(\phi)^{m-2k}\sin(\phi)^{2k} + i\sum_{1\leq 2k+1\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k+1}\cos(\phi)^{m-2k-1}\sin(\phi)^{2k+1} \\ \end{align}

なので、\(P_l^m(\cos(\theta))\)で処理できなかった\(\sin(\theta)^m\)をこちら側に押し付けると、

\begin{align} &\sin(\theta)^m\left(\cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\right) \\ =& \sin(\theta)^m\left(\sum_{0\leq 2k\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k}\cos(\phi)^{m-2k}\sin(\phi)^{2k} + i\sum_{1\leq 2k+1\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k+1}\cos(\phi)^{m-2k-1}\sin(\phi)^{2k+1}\right) \\ =& \sum_{0\leq 2k\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k}x^{m-2k}y^{2k} + i\sum_{1\leq 2k+1\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k+1}x^{m-2k-1}y^{2k+1} \\ \end{align}

となる。

したがって、\(m>0\)のとき、

\begin{align} Y_{l,m}(\theta,\phi) &= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2\pi(l+m)!}}P_l^m(\cos(\theta))\cos(m\phi) \\ &= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{2\pi(l+m)!}}P_l^{(m)}(z)\sum_{0\leq 2k\leq m} (-1)^k\binom{m}{2k}x^{m-2k}y^{2k} \\ \end{align}

\(m=0\)のとき、

\begin{align} Y_{l,m}(\theta,\phi) &= \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos(\theta)) \\ &= \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(z) \\ \end{align}

\(m<0\)のとき、

\begin{align} Y_{l,m}(\theta,\phi) &= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{2\pi(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos(\theta))\sin(|m|\phi) \\ &= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{2\pi(l+|m|)!}}P_l^{(|m|)}(z)\sum_{1\leq 2k+1\leq |m|} (-1)^k\binom{|m|}{2k+1}x^{|m|-2k-1}y^{2k+1} \end{align}

となり、\(Y_{l,m}(\theta,\phi)\)を\(x,y,z\)の多項式で表すことができる。

まとめ

これまで考察した結果を以下にまとめる。

実球面調和関数の一覧

\(l=10\)までの実球面調和関数を次の表に列挙する。

例

実際の画像に対して球面調和関数による近似を実行した結果を掲載する。(元の画像)
左上から\(L=0, 5, 10, 20, 30, 50, 85\)と元の画像で、それぞれパラメーターの数は\(1, 36, 121, 441, 961, 2601, 7396, \infty\)である。

球面調和関数による近似

参考

• 梅野善雄 - （総説） 球面調和関数による展開とその利用例
• 梅野善雄 - 球面調和関数の概要とグラフ描画
• 吉田晶樹 - 地球物理学のための球面調和関数ノート
• 〈補足 C：球面調和関数〉
• 陰山聡 - 球面調和関数 その形と使い方
• Table of spherical harmonics - Wikipedia